음악에 숨겨진 수학 - 음계를 결정하는 등비수열

흔히들 음악은 수학과 상관없다는 생각이 지배적이지만 가만히 생각해보면 음악은 수학 그 자체이다. 하나의 음을 내기 위해서 바이올린의 켜거나 피아노 건반을 두들기는 순간 발생하는 소리의 주파수에 따라서 음의 높낮이가 결정된다. 그리고 여러 음들이 합쳐져 조화를 이루게 되면 바로 화음이 되는 것이다. 사실 화음을 연구하는 화성학은 먼 옛날 피타고라스에 의해서도 연구되었다. 이에 대해서는 차차 이야기하도록 한다.

먼저 음에 대해서 기본적으로 알아보자. 음, 즉 소리라는 것은 알다시피 공기 등의 매질을 통해서 우리의 청각기관을 통해 인식된다. 이 음은 파동이기 때문에 주파수, 속도, 그리고 파장이라는 속성을 지니게 된다. 그리고 속도는 주파수와 파장을 곱한 값이다. 과학시간에 배워서 알고 있듯이, 공기라는 매질 속에서 소리는 대략 340m/s의 속도를 갖는다. 하지만 이것도 15도에서의 기준이지, 실제로는 온도와 밀도 등 여러 요인에 의해 영향을 받는다. 그리고 주파수가 높으면 높을수록 음이 높아지고, 주파수가 낮으면 낮을수록 음이 낮아지게 된다. 바꾸어 말하면, 더 많이 진동할수록 높은 소리가 나고, 더 적게 진동할수록 낮은 소리가 난다는 말이다.

주파수의 단위는 헤르츠(Hz)로, 대상이 1초에 얼마나 진동하는지의 단위이다. 그래서 주파수를 진동수라고도 한다.. 예를 들어, 라(A) 음은 440Hz인데, 440이라는 값은 라 음이 연주될 때 1초에 440번 진동한다는 것을 뜻하고 있는 것이다. 바이올린 같은 악기를 연주하는 사람들은 알겠지만 보통 라 음으로 튜닝을 하게 된다. 튜닝기에 보면 라 음의 주파수 값이 440-445Hz 안에 있다는 것을 알게 될 것이다. 약간의 차이가 있는 것은 나라마다 라(A)음을 조금씩 다르게 규정해서 그렇다.

이것을 음악과 접목하면 궁금한 점이 하나 생긴다. 음 높이의 차이가 주파수 차이 때문이라는 것은 알겠는데, 음높이와 주파수의 상관관계는 어떻게 되는 것인가?

그것은 등비수열과 관련이 있다. 우선 우리가 일반적으로 쓰는 음계는 1옥타브를 12등분한 평균율에서 나온 것이다. 한 옥타브는 진동수의 2배이다. 예를 들어, 라(A) 음의 진동수는 440Hz이지만, 그것보다 한 옥타브 높은 라 음의 진동수는 880Hz라는 것이다. 그리고 12등분된 음계는 일정한 비로 등비수열을 이루고 있다. 그러면 등비의 값은 당연히 다음의 값이 된다.

다음 포스팅에서는 이 등비를 사용해서 도레미파솔라시도의 주파수를 계산해 보겠다.