학문/교양수학 (6) 썸네일형 리스트형 음악에 숨겨진 수학 - 음계를 결정하는 등비수열 흔히들 음악은 수학과 상관없다는 생각이 지배적이지만 가만히 생각해보면 음악은 수학 그 자체이다. 하나의 음을 내기 위해서 바이올린의 켜거나 피아노 건반을 두들기는 순간 발생하는 소리의 주파수에 따라서 음의 높낮이가 결정된다. 그리고 여러 음들이 합쳐져 조화를 이루게 되면 바로 화음이 되는 것이다. 사실 화음을 연구하는 화성학은 먼 옛날 피타고라스에 의해서도 연구되었다. 이에 대해서는 차차 이야기하도록 한다. 먼저 음에 대해서 기본적으로 알아보자. 음, 즉 소리라는 것은 알다시피 공기 등의 매질을 통해서 우리의 청각기관을 통해 인식된다. 이 음은 파동이기 때문에 주파수, 속도, 그리고 파장이라는 속성을 지니게 된다. 그리고 속도는 주파수와 파장을 곱한 값이다. 과학시간에 배워서 알고 있듯이, 공기라는 매질.. 소수는 무한한가? - 유클리드의 증명 소수는 무한한가? - 유클리드의 증명 안녕하세요. 글루온입니다. 이번 포스팅에서는 소수의 무한성에 대해서 논의해 보겠습니다. 사실 깊게 들어가려면 메르센 소수 등 이야기할 것들이 많아지지만, 오늘은 간단하게 소수의 개수가 무한이라는 것만 증명하겠습니다. 소수(prime number)는 참으로 신기한 수입니다. 오늘날 잘 알려진 세계 7대 수학 난제 중 하나에 속할 만큼 이 미스터리는 아직도 남아 있습니다. 세계 7대 수학 난제 중 하나인 리만 가설은 소수의 규칙성에 관한 문제입니다. 소수는 대체 어떤 규칙성을 띠고 있을까? 하는 것이죠. 이것이 왜 이슈가 되냐면 요즘 암호체계가 이 소수와 관련이 깊기 때문입니다. 소수의 불규칙성에 의해서 보안이 유지되는데, 소수의 규칙성을 알아내버리면 보안체계가 흔들리는.. 수학 계산 사이트 추천 - 울프람알파(wolframalpha) 가끔 수학 공부나 숙제를 하다가 보면은 그래프를 한 번 그려보거나 정확하게 계산을 해보고 싶을 때가 있습니다. 그럴 때 추천하는 사이트가 바로 이 (아는 사람은 다 알겠지만) 울프람알파입니다. 예를 들어서, 문제를 풀다가 이런 놈을 만났다고 해 봅시다. 도저히 아이디어가 떠오르지 않아서 멘붕하고 있다고 해 봅시다. 그럴 때 이렇게 울프람 알파에 수식을 입력하면 됩니다. 사이트는 다음과 같습니다.www.wolframalpha.com 입력하시고 엔터를 누릅니다. 그러면 헉! 할만큼 뭐가 우수수 나옵니다. 원하는 거 쓰시면 됩니다.이 경우에는 그래프다른 형태부분분수정의역, 치역 범위도함수, 원시함수극한극형식정적분 이렇게 많은 정보를 우리에게 친절히 알려줍니다.문제를 풀어야 하는데... 적분을 해야 하니까 우리.. 칸토어의 대각논법 - 유리수와 무리수 중 어느 것이 더 많을까? 유리수와 무리수의 개수는 둘 다 무한입니다. 언뜻 생각하면 둘다 무한이니 두 집합의 농도가 같을 것이라고 생각할 수 있습니다.하지만 실제로는 그렇지 않습니다. 들어가기 전에 이 내용에서 나오는 용어의 정의를 살펴보겠습니다. 가산 집합 (Countable set) 자연수 집합으로의 집합으로의 일대일 함수가 존재하는 집합 비가산 집합(Uncountable set) 자연수 집합으로의 집합으로의 일대일 함수가 존재하지 않는 집합 참고로, 어떠한 집합이 가산 집합이라면, 그 집합을 셀 수 있다고 말합니다. 이 포스팅에서는 칸토어의 대각논법을 이용해서 무리수가 비가산 집합임을 증명하여서 무리수의 개수가 더 많다는 것을 입증하겠습니다. 우선 0과 1 사이의 실수 집합이 가산집합이라고 가정하겠습니다.(귀류법 이용) 그.. 힐베르트의 호텔 - 무한대의 특징 무한개의 방이 있는 호텔에 무한 명의 손님이 묵고 있었다. 그러던 어느 날 새로운 투숙객이 찾아왔다. 종업원은 잠시 생각하더니 각 방에 다음과 같이 공지하였다. 각 방의 손님들은 자기 방 호수에 1을 더한 호수의 방에 들어가시기 바랍니다. 1번 방의 손님은 2번 방으로, 2번 방의 손님은 3번 방으로.... 그러자 1번 방에 비게 되었고, 새로운 손님은 무사히 방을 구할 수 있었다. 하지만 이번에는 더 곤란한 상황이 왔다. 무한 명의 손님이 온 것이다. 하지만 종업원은 재치있는 사람이었다. 그는 잠시 생각하더니 각 방에 다음과 같이 공지하였다. 각 방의 손님들은 자기 방 호수에 2를 곱한 호수의 방에 들어가시기 바랍니다. 1번 방의 손님은 2번 방으로, 2번 방의 손님은 3번 방으로, n 번방의 손님은 .. 베르트랑의 역설 - 확률의 허점? 확률의 세계는 참으로 아리송합니다. 고딩때 순열 조합 문제 풀던 거 생각만 해도 그렇죠-_- ㅋㅋ 아무튼 오늘은 확률의 세계에서 정말 알쏭달쏭한 문제인, 베르트랑의 역설을 소개할까 합니다. 문제는 바로 이것입니다. "한 원에 내접하는 정삼각형이 있고, 그 원의 임의의 현이 정삼각형의 한 변의 길이보다 클 확률은?" 언뜻 생각하면 쉬운 문제 같지만, 그리 만만하지 않습니다ㅋㅋ답은 무엇일까요? 황당하게도, 3가지의 답이 나옵니다.어떻게 똑같은 사건의 확률이 3가지가 나온단 말이죠? 하시는 분들이 계실겁니다. 그래서 하나씩 살펴보겠습니다. 첫번째 - 임의의 종점(Random Endpoint) 방법이 방법은 현의 한쪽 끝을 고정시키고, 다른 한쪽 끝을 무작위로 두는 방법입니다. 그렇게 되면 다음 그림과 같이 되.. 이전 1 다음
