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학문

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계산 복잡도 이론(Time Complexity Theory) 오늘은 계산 복잡도 이론에 대해 잠깐 알아보겠다. 어떤 문제를 푸는 데에는 어떠한 알고리즘이 필요하다. 어떤 문제는 풀기 쉽고, 어떤 문제들은 풀기 어렵다. 예를 들어서. 어떤 숫자의 리스트를 정렬하는 것은 쉬운 문제이다. 이미 알려진 알고리즘도 굉장히 많다. 선택 정렬, 삽입 정렬, 거품 정렬 등등.... 그리고 시간 복잡도도 정렬에 따라 O(n^2) 아니면 O(nlogn)임을 알 수 있다. 반면 가장 효율적으로 대학 수업들을 서로 강의실과 시간이 겹치지 않게 모두 정렬하는 것은 어려운 문제이다. 고려해야 할 시간과 강의실도 있고, 무엇보다 그 수업들이 겹치지 않도록 해야 한다. 하지만, 알고리즘을 생각해 낸다고 해서 그 알고리즘이 가장 효율적인 것은 아니다. 예를 들어, 어떤 두 자연수가 서로소인지를..
음악에 숨겨진 수학 - 음계를 결정하는 등비수열 흔히들 음악은 수학과 상관없다는 생각이 지배적이지만 가만히 생각해보면 음악은 수학 그 자체이다. 하나의 음을 내기 위해서 바이올린의 켜거나 피아노 건반을 두들기는 순간 발생하는 소리의 주파수에 따라서 음의 높낮이가 결정된다. 그리고 여러 음들이 합쳐져 조화를 이루게 되면 바로 화음이 되는 것이다. 사실 화음을 연구하는 화성학은 먼 옛날 피타고라스에 의해서도 연구되었다. 이에 대해서는 차차 이야기하도록 한다. 먼저 음에 대해서 기본적으로 알아보자. 음, 즉 소리라는 것은 알다시피 공기 등의 매질을 통해서 우리의 청각기관을 통해 인식된다. 이 음은 파동이기 때문에 주파수, 속도, 그리고 파장이라는 속성을 지니게 된다. 그리고 속도는 주파수와 파장을 곱한 값이다. 과학시간에 배워서 알고 있듯이, 공기라는 매질..
소수는 무한한가? - 유클리드의 증명 소수는 무한한가? - 유클리드의 증명 안녕하세요. 글루온입니다. 이번 포스팅에서는 소수의 무한성에 대해서 논의해 보겠습니다. 사실 깊게 들어가려면 메르센 소수 등 이야기할 것들이 많아지지만, 오늘은 간단하게 소수의 개수가 무한이라는 것만 증명하겠습니다. 소수(prime number)는 참으로 신기한 수입니다. 오늘날 잘 알려진 세계 7대 수학 난제 중 하나에 속할 만큼 이 미스터리는 아직도 남아 있습니다. 세계 7대 수학 난제 중 하나인 리만 가설은 소수의 규칙성에 관한 문제입니다. 소수는 대체 어떤 규칙성을 띠고 있을까? 하는 것이죠. 이것이 왜 이슈가 되냐면 요즘 암호체계가 이 소수와 관련이 깊기 때문입니다. 소수의 불규칙성에 의해서 보안이 유지되는데, 소수의 규칙성을 알아내버리면 보안체계가 흔들리는..
만유인력으로 중력위치에너지 공식 유도하기 안녕하세요. 글루온입니다. 이번 포스팅에서는 만유인력으로 중력위치에너지 공식을 유도해 보겠습니다. 굉장히 간단하고 짧은 포스팅이 될 거 같습니다;; 물리에서 만유인력 단원을 배우면 다음과 같은 의문이 생깁니다.분명히 중력 퍼텐셜에너지의 공식은 다음과 같다고 배웠을 겁니다. (r이 무한대일때의 퍼텐셜에너지가 0) 그런데 앞서 배운 에너지 보존 법칙 단원에서 다음과 같은 식을 보셨을 겁니다. (지표면에서의 위치에너지가 0) 그럼 두 식은 둘 다 중력 위치 에너지를 나타내는 거니까 본질적으로 같아야 하는 것 아닌가? 지금부터 그 의문을 풀어드리겠습니다. (이미 아시는 분들이 대다수일테지만...) 두 식이 본질적으로 같다면 절댓값은 달라도 되지만(기준을 임의로 정하기 때문에) 위치에너지의 차이는 같게 나와야합니..
관성모멘트의 증명들 - 수직 원판, 수직 고리, 두꺼운 원통 안녕하세요, 글루온입니다. 이번 포스팅에서는 수직 원판, 두꺼운 원통, 수직 고리의 관성모멘트를 구해 보겠습니다. 혹시 앞의 포스팅들을 보고 오지 못한 분들을 위해서 링크 걸어두겠습니다. 관성모멘트의 증명들 - 평행축 정리, 수직축 정리관성모멘트의 증명들 - 고리, 원판, 막대 4. 수직 원판 원판에 수직한 방향을 z축으로 잡겠습니다. 그러면 수직축 정리에 의해 한편, 우리가 원판의 관성모멘트를 알고 있으므로이를 수직축 정리에 대입하면따라서 최종적으로 가 됩니다. 5. 두꺼운 원통 전체 질량을 M이라고 하면, 밀도는 다음과 같이 됩니다. 그리고 미소질량 dm에 대해 다음과 같은 식이 성립합니다. 또한, 반지름이 r이고 길이가 L인 원통의 부피는 이므로 미소부피 dV에 대해 다음 식이 성립합니다. 따라서 ..
관성모멘트의 증명들 - 고리, 원판, 막대 안녕하세요. 글루온입니다. 이제부터 본격적으로 여러 물체의 관성모멘트를 구해보고자 합니다. 이번 포스팅에서는 고리, 원판, 그리고 막대의 관성 모멘트를 구해 보겠습니다. 혹시 지난 포스팅을 보지 못하셨다면 한번 보고 오시는 것도 좋을 듯 합니다ㅋㅋ 평행축 정리와 수직축 정리를 증명해놓았습니다. 아래 링크를 클릭하시면 됩니다. 관성모멘트의 증명들 - 평행축 정리, 수직축 정리 우선 간단한 것들부터 시작해 보겠습니다. 1. 고리 관성모멘트의 정의에 의해 이건 생각보다 간단합니다. R 값이 상수이기 때문에 적분하는 과정에서 뒤로 쏙 빠져서 dm만 적분하면 되기 때문입니다. 2. 원판 계산을 진행하기 전에 우선 면밀도란 개념을 도입하겠습니다. 간단합니다.(전체 질량)/(전체 넓이) 가 바로 면밀도입니다. 여기서..
관성모멘트의 증명들 - 평행축 정리, 수직축 정리 안녕하세요 글루온입니다. 오늘은 회전운동과 관련된 것을 포스팅하려고 합니다. 회전운동을 논함에 있어서 가장 필요한 개념은 바로 관성모멘트입니다. 앞으로 포스팅을 더 하면서 공식을 사용해서 몇 가지 물체들의 관성모멘트를 알아보고자 합니다. 그 전에 일단 관성 모멘트의 의미부터 알아야겠죠? 관성 모멘트란? 회전관성이라고도 하며, 어떠한 회전하고 있는 물체의 질량이 회전축에 대해 얼마만큼 어떻게 분포하고 있는가에 대한 척도입니다. 또한, 이름에서 알 수 있듯이, 회전을 지속하려는 성질의 크기라고도 할 수 있습니다. 관성모멘트는 다음과 같이 정의됩니다. 이번 포스팅에서는 여러 물체들의 관성모멘트를 구하기에 앞서 증명에 쓰일 몇 가지 정리를 증명하겠습니다. 1. 평행축 정리 그림에서 원점은 질량중심이고, 점 A는..
수학 계산 사이트 추천 - 울프람알파(wolframalpha) 가끔 수학 공부나 숙제를 하다가 보면은 그래프를 한 번 그려보거나 정확하게 계산을 해보고 싶을 때가 있습니다. 그럴 때 추천하는 사이트가 바로 이 (아는 사람은 다 알겠지만) 울프람알파입니다. 예를 들어서, 문제를 풀다가 이런 놈을 만났다고 해 봅시다. 도저히 아이디어가 떠오르지 않아서 멘붕하고 있다고 해 봅시다. 그럴 때 이렇게 울프람 알파에 수식을 입력하면 됩니다. 사이트는 다음과 같습니다.www.wolframalpha.com 입력하시고 엔터를 누릅니다. 그러면 헉! 할만큼 뭐가 우수수 나옵니다. 원하는 거 쓰시면 됩니다.이 경우에는 그래프다른 형태부분분수정의역, 치역 범위도함수, 원시함수극한극형식정적분 이렇게 많은 정보를 우리에게 친절히 알려줍니다.문제를 풀어야 하는데... 적분을 해야 하니까 우리..

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